Gegeben ist die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2 \cdot \left( \left( \ln{x} \right)^{2} - 1\right)\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\) von \(f\). Abb. 1 Zeigen Sie, dass \(x = e^{-1}\) und \(x = e\) die einzigen...

Zeigen Sie, dass \(G_{f}\) genau einen Wendepunkt \(W\) besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\). (zur Kontrolle: \(x\)-Koordinate von \(W\): \(e\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b...

Begründen Sie, dass \(\lim \limits_{x\,\to\,0}f'(x) = -\infty\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f'(x) = 0\) gilt. Geben Sie \(f'(0{,}5)\) und \(f'(10)\) auf eine Dezimale genau an und zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) unter...

Begründen Sie unter Zuhilfenahme von Abbildung 1, dass es zwei Werte \(c \in \; ]0;6[\) gibt, für die gilt: \(\displaystyle \int_{e^{-1}}^{c} f(x) dx = 0\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d \[\int_{e^{-1}}^{c} f(x)dx = 0; \; c \in \; ]0;6[\] {slider...

Die gebrochen-rationale Funktion \(h \colon x \mapsto 1{,}5x - 4{,}5 + \frac{1}{x}\) mit \(x \in \mathbb R \backslash \{0\}\) stellt in einem gewissen Bereich eine gute Näherung für \(f\) dar. Geben Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten des Graphen...

Im IV. Quadranten schließt \(G_{f}\) zusammen mit der \(x\)-Achse und den Geraden mit den Gleichungen \(x = 1\) und \(x = 2\) ein Flächenstück ein, dessen Inhalt etwa \(1{,}623\) beträgt. Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung von diesem Wert, wenn...

Durch Spiegelung von \(G_{f}\) an der Geraden \(x = 4\) entsteht der Graph einer in \(]-\infty;8[\) definierten Funktion \(g\). Dieser Graph wird mit \(G_{g}\) bezeichnet. Zeichnen Sie \(G_{g}\) in Abbildung 1 ein. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a Für...

Die beschriebene Spiegelung von \(G_{f}\) an der Geraden \(x = 4\) kann durch eine Spiegelung von \(G_{f}\) an der \(y\)-Achse mit anschließender Verschiebung ersetzt werden. Beschreiben Sie diese Verschiebung und geben Sie \(a, b \in \mathbb R\) an,...

Abb. 2 Im Folgenden wird die „w-förmige" Kurve \(k\) betrachtet, die sich aus dem auf \(0{,}2 \leq x \leq 4\) beschränkten Teil von \(G_{f}\) und dem auf \(4...

Das Aquarium wird vollständig mit Wasser gefüllt. Berechnen Sie die größtmögliche Wassertiefe des Aquariums. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d Die Kurve \(k\) enthält für \(0{,}2 \leq x \leq 4\) den Graphen \(G_{f}\). Der Punkt \((0{,}2|f(0{,}2))\) liegt...

Das Volumen des Wassers im Aquarium lässt sich analog zum Rauminhalt eines Prismas mit Grundfläche \(G\) und Höhe \(h\) berechnen. Erläutern Sie, dass der Term \(\displaystyle 24 \cdot \int_{0{,}2}^{4} \left( f(0{,}2) - f(x) \right) dx\) das...