Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(\displaystyle f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\) und maximalem Definitionsbereich \(D_f\). Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen \(G_f\) von \(f\). Zeigen Sie, dass \(D_f = \mathbb R \, \backslash \, \{-5;5\}\) gilt...

Weisen Sie nach, dass die Steigung von \(G_f\) in jedem Punkt des Graphen negativ ist. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem \(G_f\) die \(x\)-Achse schneidet. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Nachweis, dass die Steigung von \(G_f\) in jedem...

Skizzieren Sie in der Abbildung den darin fehlenden Teil von \(G_f\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\,; \quad D_{f} = \mathbb R \,\backslash\,\{-5;5\}\] Bisherige...

Die Funktion \(f^* \colon\mapsto f(x)\) mit Definitionsbereich \(]5;+\infty[\) unterscheidet sich von der Funktion \(f\) nur hinsichtlich des Definitionsbereichs. Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) nicht umkehrbar ist, die Funktion \(f^*\) dagegen...

Der Graph von \(f\), die \(x\)-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen \(x = 10\) und \(x = s\) mit \(s > 10\) schließen ein Flächenstück mit dem Inhalt \(A(s)\) ein. Bestimmen Sie \(A(s)\). (Ergebnis: \(\displaystyle A(s) = 10 \cdot \ln{\frac{s^2...

Ermitteln Sie \(s\) so, dass das Flächenstück aus Aufgabe 1e den Inhalt 100 besitzt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f \(\displaystyle A(s) = 10 \cdot \ln{\frac{s^2 - 25}{75}}\;\) (siehe Teilaufgabe 1e) \[\begin{align*} A(s) &= 100 \\[0.8em] 10 \cdot...

Bestimmen Sie das Verhalten von \(A(s)\) für \(s \to +\infty\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1g \(\displaystyle A(s) = 10 \cdot \ln{\frac{s^2 - 25}{75}}\;\) (siehe Teilaufgabe 1e) \[\lim \limits_{s \,\to\,+\infty} A(s) = \lim \limits_{s\,\to\,+\infty}...

Ein Motorboot fährt mit konstanter Motorleistung auf einem Fluss eine Strecke der Länge 10 km zuerst flussabwärts und unmittelbar anschließend flussaufwärts zum Ausgangspunkt zurück. Mit der Eigengeschwindigkeit des Motorboots wird der Betrag der...

Begründen Sie, dass der erste Summand des Terms \(t(x)\) die für die Hinfahrt, der zweite Summand die für die Rückfahrt erforderliche Zeit in Stunden angibt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[t(x) = \frac{10}{x + 5} + \frac{10}{x - 5}\,;\quad x > 5\]...

Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass \(t(x)\) für \(0 < x < 5\) nicht als Gesamtfahrzeit interpretiert werden kann. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[t(x) = \frac{10}{x + 5} + \frac{10}{x - 5}\,; \quad 0 < x...

Zeigen Sie, dass die Terme \(f(x)\) und \(t(x)\) äquivalent sind. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d \[t(x) = \frac{10}{x + 5} + \frac{10}{x - 5}\] \[f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\] \[\begin{align*}t(x) &= \frac{10}{x + 5} + \frac{10}{x - 5} & &|...

Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Abbildung für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrzeit zwischen zwei und vierzehn Stunden die zugehörige Eigengeschwindigkeit des Boots näherungsweise ermitteln kann. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die...