Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer ganzrationalen Funktion \(f\) drittens Grades mit Definitions­menge \(\mathbb R\). \(G_{f}\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 0\), \(x = 5\) und \(x = 10\) und verläuft durch den Punkt \((1|2)\)....

Zeigen Sie, dass \(G_{f}\) im Punkt \(W(5|0)\) einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\). (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b !!! Derzeit in Bearbeitung !!! Nachweis, dass \(G_{f}\) im Punkt...

\(G_{f}\) geht aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto \frac{1}{18} \cdot (x^{3} - 25x)\) durch Verschiebung in positive \(x\)-Richtung hervor. Ermitteln Sie, um wie viel der Graph von \(g\) dazu verschoben werden...

Im Folgenden wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F_{1}\) mit \(\displaystyle F_{1}(x) = \int_{1}^{x} f(t) dt\) betrachtet. \(F_{1}\) hat für \(0 \leq x \leq 10\) zwei ganzzahlige Nullstellen. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre...

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 1, dass \(F_{1}\) mindestens eine weitere positive Nullstelle hat. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Da \(G_{f}\) punktsymmetrisch zum Wendepunkt \(W(5|0)\) ist (vgl. Teilaufgabe 1b), gilt: \[...

Begründen Sie, dass \(F_{1}\) höchstens vier Nullstellen hat. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Integralfunktion \(F_{1}\) eine Stammfunktion von \(f\), {slider Hauptsatz der Differential-...

Für \(0 \leq x \leq 5\) gilt, dass der Graph von \(f\) und der Graph einer trigonometrischen Funktion \(h\) ● die gleichen Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse besitzen, ● beide nicht unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen, ● jeweils mit der \(x\)-Achse eine...

Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch die Funktion \(K \colon x \mapsto x^{3} - 12x^{2} + 50x + 20\) mit \(x \in [0;9]\) beschrieben werden. Dabei gibt \(K(x)\) die Kosten in 1000 Euro an, die...

Die Funktion \(E\) mit \(E(x) = 23x\) gibt für \(0 \leq x \leq 9\) den Erlös (in 1000 Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von \(x\) Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die sogenannte Gewinnfunktion \(G\) gilt \(G(x) = E(x) - K(x)\)....

Zeichnen Sie den Graphen von \(E\) in Abbildung 2 ein. Bestimmen Sie mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe...

Berechnen Sie, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d Die notwendige Bedingung für maximalen Gewinn lautet: \[G'(x) = 0\] Gewinnfunktion \(G\) beschreiben:...