Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto \sqrt{x + 1} - 2\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\). Geben Sie \(D\) an. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[g(x) = \sqrt{ x + 1} -2\] {slider Maximale Definitionsmenge bestimmen} Maximale...

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \((8|g(8))\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[g(x) = \sqrt{x + 1} -2; \; D = [-1;+\infty[\] Zunächst wird die \(y\)-Koordinate des Punktes \((8|g(8))\) berechnet: \[g(8) =...

Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{0\}\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 1 - \dfrac{1}{x^{2}}\), die die Nullstellen \(x_{1} = -1\) und \(x_{2} = 1\) hat. Abbildung 1 zeigt den Graphen von f, der symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse...

Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von f, die \(x\)-Achse und die Gerade \(g\) einschließen. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[f(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\] \(g \colon y = -3\) bzw....

Gegeben ist die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(p_{k} \colon x \mapsto kx^{2} - 4x - 3\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\), deren Graphen Parabeln sind. Bestimmen Sie den Wert von \(k\) so, dass der Punkt \((2|-3)\) auf der...

Ermitteln Sie diejenigen Werte von \(k\), für die die jeweils zugehörige Funktion \(p_{k}\) keine Nullstelle besitzt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[p_{k}(x) = kx^{2} -4x - 3; \; k \in \mathbb R \backslash \{0\}\] Der Ansatz \(p_{k}(x) = 0 \) für...

Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\). Abb. 2 Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von \(f\). Geben Sie diesen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht...

Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). Geben Sie das Monotonieverhalten von \(F\) im Intervall \([1;3]\) an. Begründen Sie Ihre Angabe. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \(F\) ist im Intervall \([1;3]\) streng monoton fallend. Begründung...