Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse und...

Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) sowie das Verhalten von \(f\) für \(x \to - \infty\) und für \(x \to +\infty\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Symmetrieverhalten und Verhalten im Unendlichen \[f(x) = e^{\frac{1}{2}x} +...

Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung \(f''\) von \(f\) die Beziehung \(f''(x) = \frac{1}{4} \cdot f(x)\) für \(x \in \mathbb R\) gilt. Weisen Sie nach, dass \(G_{f}\) linksgekrümmt ist. (zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left(...

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d Extrempunkt bestimmen \[f(x) = e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}; \; D = \mathbb R\] Lage des Extrempunkts von \(G_{f}\) Notwendige Bedingung für eine...

Berechnen Sie die Steigung der Tangente \(g\) an \(G_{f}\) im Punkt \(P(2|f(2))\) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt \(P\) und die Gerade \(g\) in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: \(-4 \leq x \leq 4\),...

Berechnen Sie \(f(4)\), im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse \(G_{f}\) im Bereich \(-4 \leq x \leq 4\) in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein. (4...

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für \(x \in \mathbb R\) die Beziehung \(\frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2} - [f'(x)]^{2} = 1\) gilt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1g Termumformung, Binomische Formeln und Rechenregeln für Potenzen anwenden \[\frac{1}{4} \cdot...

Die als Kurvenlänge \(L_{a;b}\) bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von \(f\) zwischen den Punkten \((a|f(a))\) und \((b|f(b))\) mit \(a...

Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,00 m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph \(G_{f}\) aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich \(-4 \leq x \leq 4\) modellhaft den Verlauf des Seils,...

Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau. (5 BE) Lösung...

Der Graph von \(f\) soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird die in \(\mathbb R\) definierte quadratische Funktion \(q\) betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt \((0|2)\) hat und durch den Punkt \((4|f(4))\) verläuft....

Für jedes \(x \in \; ]0;4[\) wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte \((x|q(x))\) und \((x|f(x))\) der Graphen von \(q\) bzw. \(f\) betrachtet, wobei in diesem Bereich \(q(x) > f(x)\) gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß...