Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto (1 - x^{2}) \cdot e^{-x}\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) von \(f\). Zeigen Sie, dass \(f\) genau zwei Nullstellen besitzt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) =...

Bestimmen Sie rechnerisch die \(x\)-Koordinaten der beiden Extrempunkte von \(G_{f}\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = (x^{2} - 2x - 1) \cdot e^{-x}\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{-x}; \; D_{f} = \mathbb R\] {slider...

Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen Näherungswert für das Integral \(\displaystyle \int_{-1}^{4}f(x)dx\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Der Wert des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{-1}^{4}f(x)dx\) entspricht der Flächenbilanz der...

Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F\) ist diejenige Stammfunktion von \(f\), deren Graph durch den Punkt \(T(-1|2)\) verläuft. Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass der Graph von \(F\) im Punkt \(T\) einen Tiefpunkt besitzt. (2 BE) Lösung...

Skizzieren Sie in die Abbildung den Graphen von \(F\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere, dass \(F(1) \approx 3{,}5\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} F(x) = 2\) gilt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Skizze des Graphen der Stammfunktion \(F\)...

Deuten Sie die Aussage \(F(2{,}5) - F(0) \approx 0\) in Bezug auf \(G_{f}\) geometrisch. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f Die Aussage \(F(2{,}5) - F(0) \approx 0\) bedeutet, dass die Inhalte der beiden Flächen, die \(G_{f}\) im Intervall \([0;2{,}5]\)...

Betrachtet wird nun die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(h_{k} \colon x \mapsto (1 - kx^{2}) \cdot e^{-x}\) mit \(k \in \mathbb R\). Der Graph von \(h_{k}\) wird mit \(G_{k}\) bezeichnet. Für \(k = 1\) ergibt sich die bisher...

Für einen bestimmten Wert von \(k\) besitzt \(G_{k}\) zwei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse, die voneinander den Abstand 4 haben. Berechnen Sie diesen Wert. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1h \[h_{k}(x) = (1 - kx^{2}) \cdot e^{-x}; \; k \in \mathbb R, \;...

Beurteilen Sie, ob es einen Wert von \(k\) gibt, sodass \(G_{k}\) und \(G_{f}\) bezüglich der \(x\)-Achse symmetrisch zueinander liegen. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1i \[h_{k}(x) = (1 - kx^{2}) \cdot e^{-x}; \;k \in \mathbb R, \; D_{h_{k}} = \mathbb...

Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{e^{x}}{e^{x} + 1}\). Ihr Graph wird mit \(G_{g}\) bezeichnet. Zeigen Sie, dass \(g\) streng monoton zunehmen ist und die Wertemenge \(]0;1[\) besitzt. (zur Kontrolle:...

Geben Sie \(g'(0)\) an un zeichnen Sie \(G_{g}\) im Bereich \(-4 \leq x \leq 4\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse und der Tatsache, dass \(G_{g}\) in \(W(0|g(0))\) seinen einzigen Wendepunkt hat, in ein Koordinatensystem ein. (3 BE)...

Der Graph der Funktion \(g^{*}\) geht aus \(G_{g}\) durch Strecken und Verschieben hervor. Die Wertemenge von \(g^{*}\) ist \(]-1;1[\). Geben Sie einen möglichen Funktionsterm für \(g^{*}\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c Zum Beispiel: \(g^{*}(x) =...

Es wird das Flächenstück zwischen \(G_{g}\) und der \(x\)-Achse im Bereich \(-\ln{3} \leq x \leq b\) mit \(b \in \mathbb R^{+}\) betrachtet. Bestimmen Sie den Wert von \(b\) so. dass die \(y\)-Achse dieses Flächenstück halbiert. (6 BE) Lösung zu...