Geben Sie für die Funktion \(f\) mit \(f(x) = \ln (2013 - x)\) den maximalen Definitionsbereich \(D\), das Verhalten von \(f\) an den Grenzen von \(D\) sowie die Schnittpunkte des Graphen von \(f\) mit den Koordinatenachsen an. (5 BE) Lösung zu...

Der Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto x \cdot \sin x\) verläuft durch den Koordinatenursprung. Berechnen Sie \(f''(0)\) und geben Sie das Krümmungsverhalten des Graphen von \(f\) in unmittelbarer Nähe des...

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g \colon x \mapsto e^{-x}\) und \(h \colon x \mapsto x^3\). Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, dass die Graphen von \(g\) und \(h\) genau einen Schnittpunkt haben. (2 BE) Lösung zu...

Bestimmen Sie einen Näherungswert \(x_1\) für die \(x\)-Koordinate dieses Schnittpunkts, indem Sie für die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(d \colon x \mapsto g(x) - h(x)\) den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert \(x_0 = 1\)...

Abb. 1 Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) der Funktion \(f\) mit Definitionsbereich \([-2;2]\). Der Graph besteht aus zwei Halbkreisen, die die Mittelpunkte \((-1|0)\) bzw. \((1|0)\) sowie jeweils den Radius 1 besitzen. Betrachtet wird die in...

Skizzieren Sie den Graphen von \(F\) in Abbildung 1. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \[F(x) = \int_0^x f(t)\,dt\,; \quad D = [-2;2]\] Aus Teilaufgabe 4a ist bekannt: \[F(0) = \int_0^0 f(t)\,dt = 0 \quad \Longrightarrow \quad (0|0)\] \[F(2) = \int_0^2...