Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f \colon x \mapsto \frac{2x + 3}{x^2 + 4x + 3}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\). Bestimmen Sie \(D\) sowie die Nullstelle vom \(f\,\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[f(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 4x + 3}\]...

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(\displaystyle g \colon x \mapsto x \cdot e^{-2x}\,\). Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem der Graph von \(g\) eine waagrechte Tangente hat. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[g(x) = x...

Geben Sie das Verhalten von \(g\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[g(x) = x \cdot e^{-2x}\,, \quad D_g = \mathbb R\] Verhalten von \(g\) für \(x \to -\infty\) \[\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} g(x) =...

Betrachtet wird die in \(\mathbb R^+\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto -\ln x + 3\,\). Geben Sie an, wie der Graph von \(h\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb R^{+}\) definierten Funktion \(x \mapsto \ln x\) hervorgeht (2 BE)...

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(h\) im Punkt \((1|h(1))\,\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[h(x) = -\ln x + 3\,; \quad D_h = \mathbb R^+\] \[P\,(1|h(1))\] 1. Lösungsansatz: Tangentengleichung {slider Tangentengleichung}...

Warum hat jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle? (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4a {slider Nullstelle einer Integralfunktion} Nullstelle einer Integralfunktion Jede Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t)\,...

Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) an, sodass die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{-1}^x f(t)\,dt\) genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie die Nullstellen von...