Gegeben ist die in \([0;10]\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2 \cdot \sqrt{10x -x^2}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet. Bestimmen Sie die Nullstellen von \(f\). (zur Kontrolle: \(0\) und \(10\)) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe a...

Der Graph \(G_f\) besitzt in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente. Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punkts und begründen Sie, dass es sich um einen Hochpunkt handelt. (zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\sqrt{10x - x^2}}\);...

Der Graph \(G_f\) ist rechtsgekrümmt. Einer der folgenden Terme ist ein Term der zweiten Ableitungsfunktion \(f''\) von \(f\). Beurteilen Sie, ob dies Term I oder Term II ist, ohne einen Term von \(\boldsymbol{f''}\) zu berechnen. \[\textsf{I}\quad\;...

Weisen Sie nach, dass für \(0 \leq x \leq 5\) die Gleichung \(f(5 - x) = f(5 + x)\) erfüllt ist, indem Sie die Terme \(f(5 - x)\) und \(f(5 + x)\) geeignet umformen. Begründen Sie damit, dass der Graph \(G_f\) symmetrisch bezüglich der Gerade mit der...

Geben Sie den maximalen Definitionsbereich des Terms \(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\sqrt{10x - x^2}}\) an. Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,0}f'(x)\) und deuten Sie das Ergebnis geometrisch. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe e \(f'(x) = \dfrac{10 -...

Geben Sie \(f(8)\) an und zeichnen Sie \(G_f\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f \[f(x) = 2 \cdot \sqrt{10x - x^2}; \; D_{f} = [0;10]\] \[f(8) = 2 \cdot \sqrt{10 \cdot 8 - 8^2}...

Betrachtet wird die Tangente an \(G_f\) im Punkt \((2|f(2))\). Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die \(x\)-Achse schneidet. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe g Planskizze (optional): Der Winkel, unter dem die Tangente an \(G_f\)...

Von den Eckpunkten des Rechtecks \(ABCD\) liegen der Punkt \(A(s|0)\) mit \(s \in \;]0;5[\) sowie der Punkt \(B\) auf der \(x\)-Achse, die Punkte \(C\) und \(D\) liegen auf \(G_f\). Das Rechteck besitzt somit die Gerade mit der Gleichung \(x = 5\) als...

Ein Wasserspeicher hat die Form eines geraden Zylinders und ist bis zu einem Füllstand von 10 m über dem Speicherboden mit Wasser gefüllt. Bohrt man unterhalb des Füllstands ein Loch in die Wand des Wasserspeichers, so tritt unmittelbar nach...

Berechnen Sie die Höhen, in denen das Loch gebohrt werden kann, damit die Spritzweite 6 m beträgt. Geben Sie zudem die Höhe an, in der das Loch gebohrt werden muss, damit die Spritzweite maximal ist. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe j \(x\): Höhe des...

Es wird nun ein bestimmtes Bohrloch im Wasserspeicher betrachtet. Durch das Abfließen verringert sich das Volumen des Wassers im Speicher in Abhängigkeit von der Zeit. Die Funktion \(g \colon t \mapsto 0{,}25t - 25\) mit \(0 \leq t \leq 100\)...