Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \left(x^3 - 8 \right) \cdot (2 + \ln x)\) mit maximalem Definitionsbereich D. Geben Sie D an. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = \left( x^3 - 8 \right) \cdot (2 + \ln{x})\] Die (Natürliche)...

Bestimmen Sie die Nullstellen von \(f\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = \left(x^3 - 8 \right) \cdot (2 + \ln{x})\,; \enspace D = \mathbb R^{+}\] \[f(x) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \left(x^3 - 8 \right) \cdot (2 + \ln{x}) = 0\] Ein...

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\) mit \(f(x) = x^2 - x + 1\), \(g(x) = x^3 - x + 1\) und \(h(x) = x^4 + x^2 + 1\). Abbildung 1 zeigt den Graphen einer der drei Funktionen. Geben Sie an, um welche Funktion...

Die erste Ableitung von \(h\) ist \(h'\). Bestimmen Sie den Wert von \(\displaystyle \int _{0}^{1}h'(x)\,dx\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Bestimmtes Integral berechnen {slider Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale} Berechnung bestimmter...

Geben Sie einen positiven Wert für den Parameter \(a\) an, sodass die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \sin(ax)\) eine Nullstelle in \(\displaystyle x = \frac{\pi}{6}\) hat. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3a \[f(x) = \sin(ax)\,;...

Ermitteln Sie den Wert des Parameters \(b\), sodass die Funktion \(g \colon x \mapsto \sqrt{x^2 - b}\) den maximalen Definitionsbereich \(\mathbb R \,\backslash\; ]-2;2[\) besitzt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b Maximaler Definitionsbereich \[g(x) =...

Erläutern Sie, dass die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto 4 - e^x\) den Wertebereich \(]-\infty;4[\) besitzt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3c Wertebereich einer Funktion \[h(x) = 4 - e^{x}\,; \enspace D = \mathbb R\,; \enspace W...

Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in \(\mathbb R\) definierten differenziebaren Funktion \(g \colon x \mapsto g(x)\). Mithilfe des Newton-Verfahrens soll ein Näherungswert für die Nullstelle \(a\) von \(g\) ermittelt werden. Begründen Sie, dass weder...

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) und \(x \in \mathbb R\). Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von \(f\) auf der Geraden mit der Gleichung \(y = x - 2\) liegt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 5a Wendepunkt...

Der Graph von \(f\) wird verschoben. Der Punkt \((2|0)\) des Graphen der Funktion \(f\) besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten \((3|2)\). Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion \(h\). Geben Sie eine Gleichung von \(h\) an. (2 BE) Lösung...