Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 2e^{-x} - 1 \right)\) und \(x \in \mathbb R\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\) von \(f\) sowie die einzige Nullstelle \(x = \ln 2\) von \(f\). Zeigen Sie, dass für den Term der...

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\). (Teilergebniss: \(x\)-Koordinate des Extrempunkts: \(\ln 4\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Lage und Art des Extrempunkts des Graphen einer Funktion bestimmen \[f(x) = 2e^{-x}...

Zusätzlich ist die Funktion \(F\) mit \(F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}\) und \(x \in \mathbb R\) gegeben. Zeigen Sie, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, und begründen Sie anhand des Terms von \(F\), dass \(\lim \limits_{x \, \to \,+\infty} F(x) =...

Der Graph von \(F\) verläuft durch den Punkt \((\ln 2|0{,}5)\). Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass \(F\) keine größeren Werte als \(0{,}5\) annehmen kann und bei \(x = \ln 4\) eine Wendestelle besitzt. Berechnen Sie die \(y\)-Koordinate des...

Zeichnen Sie den Graphen von \(F\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse sowie des Funktionswerts \(F(0)\) im Bereich \(-0{,}3 \leq x \leq 3{,}5\) in Abbildung 1 ein. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Funktionsgraph zeichnen \[F(x) = 2e^{-x} -...

Der Graph von \(f\) schließt mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein, das durch das Dreieck mit den Eckpunkten \(O(0|0)\), \(P(\ln 2|0)\) und \(Q(0|2)\) angenähert werden kann. Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Flächeninhalt des Dreiecks...

Betrachtet wird nun die Integralfunktion \(F_{0}\) mit \(F_{0}(x) = \displaystyle \int_{0}^{x} f(t) dt\) und \(x \in \mathbb R\). Begründen Sie, dass \(F_{0}\) mit der betrachteten Stammfunktion \(F\) von \(f\) übereinstimmt. Interpretieren Sie...

Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion von \(f\) ist. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1h Zusammenhang Integralfunktion - Stammfunktion Anmerkung: Der Term der gesuchten...

Zur Modellierung einer Zerfallsreihe wird vereinfachend davon ausgegangen, dass sich in einem Gefäß zu Beginn eines Beobachtungszeitraums ausschließlich der radioaktive Stoff Bi 211 befindet. Jeder Atomkern dieses Stoffs Bi 211 wandelt sich irgendwann...

Ermitteln Sie unter Verwendung von Ergebnissen aus Aufgabe 1 den Zeitpunkt auf Sekunden genau, zu dem der Anteil von Tl 207-Kernen im Gefäß am größten ist. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Globales Maximum einer Funktion im Sachzusammenhang...

Begründen Sie rechnerisch, dass zu keinem Zeitpunkt die Anteile der drei Kernsorten gleich groß sind. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c Mathematische Beziehung rechnerisch widerlegen \[B(x) = e^{-2x}; \; D_{B} = \mathbb R\] \(F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x};...

Weisen Sie mithilfe des Terms der Funktion \(P\) nach, dass \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} P(x) = 1\) gilt, und interpretieren Sie diesen Grenzwert im Sachzusammenhang. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d Grenzwertbetrachtung, Verhalten im Unendlichen,...