Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{\ln{x}}{x^{2}}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\). Geben Sie \(D\) sowie die Nullstelle von \(f\) an und bestimmen Sie \(\lim \limits_{x \, \to \, 0} f(x)\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a...

Ermitteln Sie die \(x\)-Koordinate des Punkts, in dem der Graph von \(f\) eine waagrechte Tangente hat. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Extremstelle einer Funktion bestimmen \[f(x) = \frac{\ln{x}}{x^{2}}; \; D = \mathbb R^{+}\] Die \(x\)-Koordinate des...

Geben Sie jeweils den Term und den Definitionsbereich einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt. Der Punkt \((2|0)\) ist ein Wendepunkt des Graphen von \(g\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a Entwicklung von Funktionen 1....

Der Graph der Funktion \(h\) ist streng monoton fallend und rechtsgekrümmt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Monoptoniekriterium, Krümmungsverhalten, Entwicklung von Funktionen 1. Lösungsansatz: Monotoniekriterium, Krümmungsverhalten Für die gesuchte...

Die Abbildung zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\). Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für \(\displaystyle \int_{3}^{5} f(x) \,dx\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3a Näherungsweise Integration Der Wert...

Die Funktion \(F\) ist die in \(\mathbb R\) definierte Stammfunktion von \(f\) mit \(F(3) = 0\). Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von \(F\) an der Stelle \(x = 2\) an. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b Stammfunktion...

Zeigen Sie, dass \(\displaystyle F(b) = \int_{3}^{b} f(x) \, dx\) mit \(b \in \mathbb R\) gilt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3c Integralfreie Darstellung einer Integralfunktion \[F(b) = \int_{3}^{b} f(x) \, dx; \; b \in \mathbb R\] Die Integralfunktion...

Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{k}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(k\). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(k'\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für die Steigung...