Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{1 - \ln{x}}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\). Bestimmen Sie \(D\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Maximale Definitionsmenge einer Funktion \[f(x) = \sqrt{1 - \ln{x}}\] 1. Bedingung: Der...

Bestimmen Sie den Wert \(x \in D\) mit \(f(x) = 2\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Wurzelgleichung bzw. logarithmische Gleichung lösen \[f(x) = \sqrt{1 - \ln x}; \; D = \; ]0;e]\] \[\begin{align*} f(x) &= 2 \\[0.8em] \sqrt{1 - \ln x} &= 2 & &| \;...

Zeigen Sie, dass der Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto x^{2} \cdot \sin{x}\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und geben Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} x^{2} \cdot...

Skizzieren Sie im Bereich \(-1 \leq x \leq 4\) den Graphen einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) mit den folgenden Eigenschaften: ● \(f\) ist nur an der Stelle \(x = 3\) nicht differenzierbar. ● \(f(0)\) = 2 und für die Ableitung \(f'\) von...

Gegeben ist eine in \(\mathbb R\) definierte ganzrationale Funktion \(f\) dritten Grades, deren Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 1\) einen Hochpunkt und an der Stelle \(x = 4\) einen Tiefpunkt besitzt. Begründen Sie, dass der Graph der...

Begründen Sie, dass \(2{,}5\) die \(x\)-Koordinate des Wendepunkts von \(G_{f}\) ist. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b Graph der Ableitung einer Funktion analysieren Die Extremstellen des Graphen der Ableitung einer Funktion sind die Wendestellen des...

Die Abbildung zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\). Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für \(\displaystyle \int_{3}^{5} f(x) \,dx\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 5a Näherungsweise Integration Der Wert...

Die Funktion \(F\) ist die in \(\mathbb R\) definierte Stammfunktion von \(f\) mit \(F(3) = 0\). Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von \(F\) an der Stelle \(x = 2\) an. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 5b Stammfunktion...

Zeigen Sie, dass \(\displaystyle F(b) = \int_{3}^{b} f(x) \, dx\) mit \(b \in \mathbb R\) gilt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 5c Integralfreie Darstellung einer Integralfunktion \[F(b) = \int_{3}^{b} f(x) \, dx; \; b \in \mathbb R\] Die Integralfunktion...