Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\). Abb. 2 Weisen Sie nach, dass \(G_f\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und...

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von \(G_f\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = 2e^{-0{,}5x^2} \cdot (1 - x^2)\,\); y-Koordinate des Hochpunkts: \(\frac{2}{\sqrt{e}}\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\,;...

Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate \(m_S\) von \(f\) im Intervall \([-0{,}5; 0{,}5]\) sowie die lokale Änderungsrate \(m_T\) an der Stelle \(x = 0\). Berechnen Sie, um wie viel Prozent \(m_S\) von \(m_T\) abweicht. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c...

Der Graph von \(f\), die \(x\)-Achse und die Gerade \(x = u\) mit \(u \in \mathbb R^+\) schließen für \(0 \leq x \leq u\) ein Flächenstück mit dem Inhalt \(A(u)\) ein. Zeigen Sie, dass \(A(u) = 2 - 2e^{-0{,}5u^2}\) gilt. Geben Sie \(\lim \limits_{u \,...

Die Ursprungsgerade \(h\) mit der Gleichung \(y = \frac{2}{e^2} \cdot x\) schließt mit \(G_f\) für \(x \geq 0\) ein Flächenstück mit dem Inhalt \(B\) vollständig ein. Berechnen Sie die \(x\)-Koordinaten der drei Schnittpunkte der Geraden \(h\) mit...

Im Folgenden wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_c \colon x \mapsto f(x) + c\) mit \(c \in \mathbb R\) betrachtet. Geben Sie in Abhängigkeit von \(c\) ohne weitere Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von...

Die Anzahl der Nullstellen von \(g_c\) hängt von \(c\) ab. Geben Sie jeweils einen möglichen Wert von \(c\) an, sodass gilt: α) \(g_c\) hat keine Nullstelle. β) \(g_c\) hat genau eine Nullstelle. γ) \(g_c\) hat genau zwei Nullstellen. (3 BE) Lösung zu...

Begründen Sie für \(c > 0\) anhand einer geeigneten Skizze, dass \(\displaystyle \int_0^3 g_c(x)\,dx = \int_0^3 f(x)\,dx + 3c\) gilt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[ \int_0^3 g_c(x)\,dx = \int_0^3 f(x)\,dx + 3c\,; \quad c > 0\] \[g_c(x) = f(x) + c\]...

Die Anzahl der KInder, die eine Frau im Laufe ihres Lebens durchschnittlich zur Welt bringt, wird durch eine sogenannte Geburtenziffer angegeben, die jedes Jahr statistisch ermittelt wird. Die Funktion \(g_{1{,}4} \colon x \mapsto 2x \cdot...

Welche künftige Entwicklung der Bevölkerungszahl ist auf der Grundlage des Modells zu erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[g_{1{,}4} = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} + 1{,}4\,; \quad x \geq 0\] Graph der Funktion...

Im betrachteten Zeitraum gibt es ein jahr, in dem die Geburtenziffer am stärksten abnimmt. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für dieses Jahr an. Beschreiben Sie, wie man auf der Grundlage des Modells rechnerisch nachweisen könnte,...