Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}\). Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(f\) ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem. Abb. 1 Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von...

Bestimmen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = \left( 1 - x^2 \right) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}\)) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Für die Bestimmung von \(f'\) wird u. a. die Produkt-...

Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(f\). Ergänzen Sie in der Abbildung 1 die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Rechnerische Untersuchung des Monotonieverhaltens von \(f\) Gemäß dem...

Ist \(g'\) die erste Ableitungsfunktion einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g\), so gilt bekanntlich \(\displaystyle \int_u^v g'(x) \cdot e^{g(x)}dx = \left[ e^{g(x)} \right]_u^v\). Berechnen Sie damit den Wert des Terms \(\displaystyle...

Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch: Für jede Stammfunktion \(F\) von \(f\) und für jede reelle Zahl \(w > 2022\) gilt \[F(w) - F(0) \approx \int_0^{2022} f(x)dx\] (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Skizze schematisch (nicht...

Betrachtet wird nun die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_a \colon x \mapsto x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}\) mit \(a \in \mathbb R\). Zeigen Sie, dass genau ein Graph der Schar den Punkt \((1|1)\) enthält, und...

Der Graph der Funktion \(f_0\) ist eine Gerade. Geben Sie die Steigung dieser Gerade und die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Steigung: \(\sqrt{e}\) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0|0)\)...

Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen \(a\), \(a_1\) und \(a_2\): \(f_a(0) = 0\) \(f'_a(0) = f'_0(0)\) \(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \enspace \Leftrightarrow \enspace a_1 = a_2\) oder \(x =0\) Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen...

Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von \(a\) richtig ist: Wird der Graph von \(f_a\) mit dem gleichen Faktor \(k > 0\) sowohl in \(x\)-Richtung als auch in \(y\)-Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls...

Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I und II einteilen: I Der Graph hat genau zwei Extrempunkte. II Der Graph hat keine Extrempunkte. Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe I, die Abbildung 3 einen Graphen der...

Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Gerade. Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung \(y = x\) handelt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2f 1. Möglichkeit: Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 berücksichtigen Graph der...

Für jeden positiven Wert von \(a\) bilden der Hochpunkt \((v|f_a(v))\) des Graphen von \(f_a\), der Punkt \(\left(0|\frac{2}{v}\right)\), der Koordinatenursprung und der Punkt \((v|0)\) die Eckpunkt eines Vierecks. Bestimmen Sie ausgehend von einer...