Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \displaystyle \frac{2e^x}{e^x + 9}\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\,\). Abb. 2 Zeigen Sie rechnerisch, dass \(G_f\) genau einen Achsenschnittpunkt \(S\)...

Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms von \(f\), dass \(\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f(x) = 0\) und \(\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f(x) = 2\) gilt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9}\,; \quad D = \mathbb R\]...

Weisen Sie rechnerisch nach, dass \(G_f\) in \(\mathbb R\) streng monoton steigt. (zur Kontrolle: \(f'(x)= \displaystyle \frac{18e^x}{(e^x + 9)^2}\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9}\,; \quad D = \mathbb R\] {slider...

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an \(G_f\) im Achsenschnittpunkt \(S\). (Ergebnis: \(y = 0{,}18x + 0{,}2\)) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d \[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9}\,; \quad D = \mathbb R\] \[S\,(0|0{,}2)\] 1. Lösungsansatz:...

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die \(G_f\) mit den Koordinatenachsen und der Geraden \(x = 4\) einschließt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Flächeninhaltsberechnung durch Integration Fläche, die \(\,G_f\,\) mit den Koordinatenachsen und der...

Begründen Sie, dass \(f\) in \(\mathbb R\) umkehrbar ist. Geben Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) an und zeichnen Sie den Graphen von \(f^{-1}\) in Abbildung 2 ein. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f...

Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Alba lässt sich modellhaft mithilfe der Funktion \(f\) beschreiben. Beginnt man die Beobachtung zwei Wochen nach der Auskeimung einer Sonnenblume dieser Sorte, so liefert \(f(x)\) für \(x \in [0;4]\) im Modell...

Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, wie viele Monate nach Beobachtungsbeginn eine Sonnenblume eine Höhe von 1,5 Metern erreicht. Beschreiben Sie, wie man den Wert graphisch überprüfen kann. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[f(x) =...

Im Modell gibt es einen Zeitpunkt \(x_M\), zu dem die Blumen am schnellsten wachsen. Bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für \(x_M\). Ermitteln Sie anschließend einen Näherungswert für die maximale Wachstumsrate in Zentimetern...

Ein Biologe nimmt an, dass sich das Wachstum der Blumen vor Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Gleichung der Tangente aus Aufgabe 1d beschreiben lässt. Untersuchen Sie mithilfe einer Rechnung, ob diese Annahme damit in Einklang steht, dass vom...

Haben zu Beobachtungsbeginn Sonnenblumen der Sorte Tramonto die gleiche Höhe wie Sonnenblumen der Sorte Alba, so erreichen von da an die Sonnenblumen der Sorte Tramonto im Vergleich zu denen der Sorte Alba jede Höhe in der Hälfte der Zeit. Das Wachstum...

Die Funktionsgleichung von \(g\) hat also die Form III. Geben Sie den passenden Wert von \(k\) an. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2f \[\textsf{III} \enspace y = \frac{2e^{kx}}{e^{kx} + 9}\,; \quad k \in \mathbb R^+\] {slider Strecken von...