Teilaufgabe 1a
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 2
Language: *
Im Rahmen eines W-Seminars modellieren Schülerinnen und Schüler einen Tunnelquerschnitt, der senkrecht zum Tunnelverlauf liegt. Dazu beschreiben sie den Querschnitt der Tunnelwand durch den Graphen einer Funktion in einem Koordinatensystem. Der...
Teilaufgabe 1b
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 2
Language: *
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen nun den Abstand \(d(x)\) der Graphenpunkte \(P_{x}(x|p(x))\) vom Ursprung des Koordinatensystems. Zeigen Sie, dass \(d(x) = \sqrt{0{,}04x^{4} - x^{2} + 25}\) gilt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Satz des...
Teilaufgabe 1c
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 2
Language: *
Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu \(M\) minimal ist. Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinaten der Punkte \(P_{x}\), für die \(d(x)\) minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an. (5 BE) Lösung zu...
Teilaufgabe 2a
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 2
Language: *
Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ \(k \colon x \mapsto 5 \cdot \cos(c \cdot x)\) mit \(c \in \mathbb R\) und Definitionsbereich \(D_{k} = [-5;5]\), bei der offensichtlich Bedingung II...
Teilaufgabe 2b
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 2
Language: *
Zeigen Sie, dass Bedingung III weder bei der Modellierung mit \(p\) aus Aufgabe 1 noch bei einer Modellierung mit \(k\) erfüllt ist. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Funktionswerte im Sachzusammenhang bewerten \[p(x) = -0{,}2x^{2} + 5; \; D_{p} =...
Teilaufgabe 3a
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 2
Language: *
Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{25 - x^{2}}\) mit dem Definitionsbereich \(D_{f} = [-5;5]\). Begründen Sie, dass in...
Teilaufgabe 3b
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 2
Language: *
Betrachtet wird nun die Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f(t)\,dt\) mit Definitionsbereich \(D_{F} = [-5;5]\). Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass \(F(5) = \frac{25}{4}\pi\) gilt. Einer der Graphen...
Teilaufgabe 3c
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 2
Language: *
Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit \(f\) von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3c Geometrische Berechnung eines Funktionswerts einer...
Teilaufgabe 3d
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 2
Language: *
Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade \(g\) mit der Gleichung \(y = -\frac{4}{3}x + 12\) modelliert. Zeigen Sie, dass die Tangente \(t\) an den Graphen von...
Teilaufgabe 3e
Type: Article
Author: Christian Rieger
Category: Analysis 2
Language: *
Der Punkt \(R\) aus Aufgabe 3d entspricht demjenigen Punkt der Tunnelwand, der im betrachteten Querschnitt vom Hangprofil den kleinsten Abstand \(e\) in Metern hat. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines Verfahrens zur rechnerischen Ermittlung...
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