Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 1 + 7e^{-0{,}2x}\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R_{0}^{+}\); die Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\). Begründen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) waagrechte Asymptote von \(G_{f}\)...

Für jeden Wert \(s > 0\) legen die Punkte \((0|1)\), \((s|1)\), \((s|f(s))\) und \((0|f(s))\) ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(R(s)\) fest. Zeichnen Sie dieses Rechteck für \(s = 5\) in die Abbildung 1 ein. Zeigen Sie, dass \(R(s)\) für einen...

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von \(G_{f}\), der \(y\)-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen \(y = 1\) und \(x = 5\) begrenzt wird. Einen Teil dieses Flächenstücks nimmt das zu \(s = 5\) gehörige Rechteck ein. Bestimmen Sie den...

Die in \(\mathbb R_{0}^{+}\) definierte Funktion \(A \colon x \mapsto \dfrac{8}{f(x)}\) beschreibt modellhaft die zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts eines Algenteppichs am Südufer eines Sees. Dabei ist \(x\) die seit Beobachtungsbeginn vergangene...

Bestimmen Sie denjenigen Wert \(x_{0}\), für den \(A(x_{0}) = 4\) gilt, und interpretieren sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[A(x) = \frac{8}{f(x)}; \; D_{A} = \mathbb R_{0}^{+}\] \[f(x) = 1 + 7e^{-0{,}2x}; \; D_{f}...

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts des Algenteppichs zu Beobachtungsbeginn. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[A(x) = \frac{8}{f(x)}; \; D_{A} = \mathbb R_{0}^{+}\] \[f(x) = 1 + 7e^{-0{,}2x}; \; D_{f} = \mathbb R_{0}^{+}\]...

Nur zu dem Zeitpunkt, der im Modell durch \(x_{0}\) (vgl. Aufgabe 2b) beschrieben wird, nimmt die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts des Algenteppichs ihren größten Wert an. Geben Sie eine besondere Eigenschaft des Graphen von \(A\) im Punkt...

Skizzieren Sie den Graphen der Funktion \(A\) unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in der Abbildung 2. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2e Bisherige Ergebnisse: \(A(0) = 1\) (vgl. Teilaufgabe 2a) Steigung der Tangente im Punkt \((0|1)\):...

Um die zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts eines Algenteppichs am Nordufer des Sees zu beschreiben, wird im Term \(A(x)\) die im Exponenten zur Basis e enthaltene Zahl -0,2 durch eine kleinere Zahl ersetzt. Vergleichen Sie den Algenteppich am...