Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{-2;2\}\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{6x}{x^{2} - 4}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet und ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Geben Sie die Gleichungen...

Bestimmen Sie das jeweilige Monotonieverhalten von \(f\) in den drei Teilintervallen \(]-\infty;-2[\), \(]-2;2[\) und \(]2;+\infty[\) der Definitionsmenge. Berechnen Sie zudem die Steigung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \((0|f(0))\). (zur...

Die Punkte \(A(3|3{,}6)\) und \(B(8|0{,}8)\) liegen auf \(G_{f}\); zwischen diesen beiden Punkten verläuft \(G_{f}\) unterhalb der Strecke \([AB]\). Skizzieren Sie \(G_{f}\) im Bereich \(-10 \leq x \leq 10\) unter Verwendung der bisherigen...

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von \(G_{f}\) und der Strecke \([AB]\) eingeschlossen wird. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d \[f(x) = \frac{6x}{x^{2} - 4}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-2;2\}\] Flächeninhalt \(\textcolor{#0087c1}{A}\) der...

Betrachtet wird die Schar der Funktionen \(f_{a,b,c} \,\colon x \mapsto \dfrac{ax + b}{x^{2} + c}\) mit \(a, b, c \in \mathbb R\) und maximaler Definitionsmenge \(D_{a,b,c}\). Die Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar. Geben Sie...

Begründen Sie: Wenn \(a = 0\) und \(b \neq 0\) gilt, dann ist der Graph von \(f_{a,b,c}\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse und schneidet die \(x\)-Achse nicht. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[f_{a,b,c}(x) = \frac{ax + b}{x^{2} + c}; \; a,b,c \in...

Geben Sie für \(a\), \(b\) und \(c\) alle Werte an, sodass sowohl \(D_{a,b,c} = \mathbb R\) gilt als auch, dass der Graph von \(f_{a,b,c}\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs, aber nicht identisch mit der \(x\)-Achse ist. (3 BE) Lösung zu...

Für die erste Ableitung von \(f_{a,b,c}\) gilt: \(f'_{a,b,c}(x) = -\dfrac{ax^{2} + 2bx - ac}{(x^{2} +c)^{2}}\). Zeigen Sie: Wenn \(a \neq 0\) und \(c > 0\) gilt, dann besitzt der Graph von \(f_{a,b,c}\) genau zwei Extrempunkte. (4 BE) Lösung zu...

Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(p \colon x \mapsto \dfrac{40}{(x - 12)^{2} + 4}\); die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{p}\) von \(p\). Beschreiben Sie, wie \(G_{p}\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion...

Eine auf einem Hausdach installierte Photovoltaikanlage wandelt Lichtenergie in elektrische Energie um. Für \(4 \leq x \leq 20\) beschreibt die Funktion \(p\) modellhaft die zeitliche Entwicklung der Leistung der Anlage an einem bestimmten Tag. Dabei...

Die Funktion \(p\) besitzt im Intervall \([4;12]\) eine Wendestelle. Geben Sie die Bedeutung dieser Wendestelle im Sachzusammenhang an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3c Die Wendestelle von \(p\) im Intervall \([4;12]\) entspricht dem Zeitpunkt, zu dem...

Die von der Anlage produzierte elektrische Energie wird vollständig in das Stromnetz eingespeist. Der Hauseigentümer erhält für die eingespeiste elektrische Energie eine Vergütung von 10 Cent pro Kilowattstunde (kWh). Die in \([4;20]\) definierte...